Можно ли найти такую натуральную степень числа 3, которая оканчивается на …0001?

Да, можно. Например, число $3^{500}$ оканчивается на $0001$.

Докажем это. Чтобы число оканчивалось на $0001$, необходимо и достаточно, чтобы

Разложим модуль:

Рассмотрим сравнения отдельно.

По модулю $16$:

Так как $500$ делится на $4$, получаем

По модулю $625$ применим теорему Эйлера. Поскольку $3$ и $625$ взаимно просты, а

то

Таким образом, $3^{500}-1$ делится и на $16$, и на $625$. Эти числа взаимно просты, поэтому разность делится на их произведение:

Следовательно,

Более того, для любого заранее заданного конечного количества нулей можно подобрать степень числа $3$, которая будет оканчиваться на соответствующее число нулей и единицу. Это следует из теоремы Эйлера, поскольку $3$ взаимно просто с любой степенью числа $10$.