Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна 7, а расстояние от вершины прямого угла до точки пересечения биссектрисы меньшего острого угла с меньшим катетом равно 5. Найдите длину меньшего катета.

Обозначим меньший катет через $a$, а больший — через $b$. Пусть прямой угол находится в вершине $O$, меньший катет — $OA=a$, больший — $OB=b$, а гипотенуза — $AB=c$.

Высота из вершины прямого угла к гипотенузе равна 7, поэтому для прямоугольного треугольника выполняется формула:

Значит,

Теперь рассмотрим биссектрису меньшего острого угла. Меньший острый угол лежит напротив меньшего катета, то есть это угол при вершине $B$. Его биссектриса пересекает меньший катет $OA$ в точке $P$.

По условию:

Так как $OP$ — часть меньшего катета, то:

Применим теорему о биссектрисе в треугольнике $OAB$:

Подставляем известные величины:

Отсюда:

Теперь подставим это в формулу высоты:

Получаем:

Сокращаем $b$:

Решаем уравнение:

Следовательно, длина меньшего катета равна