существуютли такие х у что нок(х у)+нод(х у)+х+у=1999

Предположим, что $x$ и $y$ — натуральные числа. Проверим, существуют ли такие числа.

Обозначим:

Тогда можно записать:

где $a$ и $b$ — взаимно простые числа.

Из свойства НОК:

Подставим в условие:

Получаем:

Вынесем $d$:

Сгруппируем выражение в скобках:

Значит:

Теперь разложим число 1999 на множители. Оно является простым числом (не делится ни на одно простое число до $\sqrt{1999}\approx 44,7$).

Следовательно, произведение

может быть равно 1999 только в том случае, если один из множителей равен 1999, а остальные равны 1.

Но $a$ и $b$ — натуральные числа, поэтому:

Они не могут быть равны 1. Получается, что произведение $(a+1)(b+1)$ не может быть равно 1.

Следовательно, получить число 1999 невозможно.

Ответ: таких натуральных чисел $x$ и $y$ не существует.