Малышу и Карлсону дали по одинаковому пирогу. Карлсон начал есть свой пирог на минуту позже Малыша, а через две минуты после этого оказалось, что Карлсон уже съел столько, сколько ещё осталось съесть Малышу. Докажите, что если бы Малыш и Карлсон ели один пирог вдвоём, то они управились бы с ним меньше чем за три минуты.

Обозначим количество пирога за 1.

Пусть скорость Малыша — $x$ пирога в минуту, а скорость Карлсона — $y$ пирога в минуту.

Малыш начал есть раньше. Через минуту после начала Малыша к нему присоединился Карлсон. Ещё через 2 минуты (то есть через 3 минуты после начала Малыша) оказалось, что Карлсон уже съел столько, сколько осталось съесть Малышу.

За эти 2 минуты Карлсон съел:

А Малышу к этому моменту осталось:

По условию эти количества равны:

Теперь найдём, сколько времени потребовалось бы им вместе, чтобы съесть один пирог.

Их общая скорость:

Используем полученное равенство:

Тогда общая скорость:

Время, за которое они вместе съедят пирог:

Подставим:

Теперь нужно доказать, что это время меньше 3 минут.

Для этого достаточно показать:

Умножим на положительное число $1-x$:

Но $x<\frac13$, потому что Малыш за первые 3 минуты не мог съесть весь пирог: в этот момент ему ещё осталось съесть столько же, сколько Карлсон съел за свои 2 минуты. Значит, Малыш съел меньше целого пирога:

Следовательно:

А значит:

То есть если бы Малыш и Карлсон ели один пирог вместе с самого начала, они справились бы с ним меньше чем за 3 минуты.

Что и требовалось доказать.

0 0 Пожаловаться