В треугольнике АВС проведены биссектрисы АА1 и СС1. К и М - основания перпендикуляров опущенных из точки В на АА1 и СС1. Доказать, что МК=АС. Найти площадь треугольника КВМ. Просьба написать подробное решение. Спасибо

Доказательство равенства $MK = AC$

1. Дано:

   • В треугольнике $\triangle ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$.
   • $K$ и $M$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $B$ на $AA_1$ и $CC_1$, соответственно.

2. Требуется доказать:

   • $MK = AC$.

Шаг 1: Вспомним свойства биссектрисы

Биссектриса $AA_1$ делит угол $\angle CAB$ пополам, а также делит сторону $BC$ на отрезки $BA_1$ и $A_1C$, пропорциональные сторонам $AB$ и $AC$:

Аналогично, биссектриса $CC_1$ делит угол $\angle BCA$ пополам, а также делит сторону $AB$ на отрезки $BC_1$ и $C_1A$, пропорциональные сторонам $BC$ и $AC$:

Шаг 2: Построение дополнительных треугольников

Рассмотрим перпендикуляры из точки $B$:

• $BK \perp AA_1$,
• $BM \perp CC_1$.

Таким образом, точки $K$ и $M$ лежат на биссектрисах $AA_1$ и $CC_1$, соответственно. Соединим точки $K$ и $M$, образуя отрезок $MK$.

Шаг 3: Доказательство равенства $MK = AC$

Рассмотрим трапецию $AA_1CC_1$, где:

• $AA_1 \parallel CC_1$ (обе являются биссектрисами),
• $K$ и $M$ — точки пересечения перпендикуляров из $B$ с $AA_1$ и $CC_1$.

Треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CBM$ прямоугольные:

• В $\triangle ABK$, $BK$ является высотой на биссектрису $AA_1$.
• В $\triangle CBM$, $BM$ является высотой на биссектрису $CC_1$.

Из симметрии трапеции $AA_1CC_1$ и параллельности биссектрис следует, что:

• $K$ и $M$ симметричны относительно средней линии трапеции,
• расстояние между $K$ и $M$ равно основанию трапеции $AC$.

Следовательно, $MK = AC$.

Нахождение площади треугольника $\triangle KBM$

1. Рассмотрим треугольник $\triangle KBM$:

   • $KB$ и $BM$ — перпендикуляры к биссектрисам $AA_1$ и $CC_1$, соответственно.
   • Угол между $KB$ и $BM$ равен $\angle KBM = \angle ABC$.

2. Пусть высоты $BK$ и $BM$ из точки $B$ равны $h_1$ и $h_2$, соответственно. Тогда площадь треугольника вычисляется по формуле:

   $$S_{\triangle KBM} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot h,$$