Составить уравнение эллипса, если эксцентриситет e = 2/3, фокус F(0; ±4).

Дано:

• Эксцентриситет эллипса: $e=\frac{2}{3}$.

• Фокусы эллипса: $F_1(0;4)$ и $F_2(0;-4)$.

Найти: каноническое уравнение эллипса.

Решение

1. Запишем каноническое уравнение эллипса.

Так как фокусы расположены на оси $Oy$, большая полуось эллипса лежит на оси $Oy$.

Следовательно, каноническое уравнение имеет вид:

где:

• $a$ — большая полуось эллипса;

• $b$ — малая полуось эллипса;

• $c$ — расстояние от центра эллипса до фокуса.

2. Найдём большую полуось $a$.

Эксцентриситет эллипса определяется формулой:

По условию фокусы имеют координаты $(0;\pm4)$, поэтому:

Подставим известные значения:

Отсюда:

3. Найдём малую полуось $b$.

Для эллипса справедливо соотношение:

Выразим $b^2$:

Подставим значения $a=6$ и $c=4$:

Следовательно,

4. Составим уравнение эллипса.

Подставим найденные значения $a^2=36$ и $b^2=20$ в каноническое уравнение:

Получим:

Ответ:

Это каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, фокусами $F_1(0;4)$, $F_2(0;-4)$ и эксцентриситетом $e=\frac{2}{3}$