Три гнома разделили между собой 80 монет. Если первый гном отдаст все свои монеты второму, то у второго и третьего будет поровну. А если первый гном отдаст все монеты третьему, то у третьего будет в 4 раза монет больше чем у второго. Сколько монет у первого гнома?

Решим эту задачу шаг за шагом. Обозначим количество монет у первого гнома как $x$, у второго — $y$, а у третьего — $z$.

Сначала у нас есть два уравнения, которые можно составить на основе условий задачи.

1. Из условия, что если первый гном отдаст все свои монеты второму, то у второго и третьего будет поровну, мы можем записать следующее уравнение:

2. Из условия, что если первый гном отдаст все свои монеты третьему, то у третьего будет в 4 раза больше монет, чем у второго, мы получаем:

Также известно, что сумма монет всех гномов равна 80:

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

1. $y + x = z$
2. $z + x = 4y$
3. $x + y + z = 80$

Теперь подставим $z$ из первого уравнения во второе и третье уравнения. Подставляем $z = y + x$ во второе уравнение:

Теперь подставим $y$ в третье уравнение:

Подставим $z$ (где $z = y + x = \frac{2}{3}x + x = \frac{5}{3}x$):

Сложим все дроби:

Теперь у нас есть уравнение:

Умножим обе стороны на 3:

И разделим на 10:

Таким образом, у первого гнома 24 монеты. Теперь мы можем найти, сколько монет у второго и третьего гномов.

Используем значение $x$ для нахождения $y$:

Теперь найдем $z$:

Итак, количество монет у каждого гнома:

• Первый гном: 24 монеты
• Второй гном: 16 монет
• Третий гном: 40 монет

Эти значения удовлетворяют всем условиям задачи, и сумма монет равна 80. Таким образом, ответ: у первого гнома 24 монеты.