На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили точки E и F соответственно. Оказалось, что BE=EF. Биссектриса угла EFC пересекает основание AC в точке K. Докажите, что KF=KC.

Так как \(BE=EF\), треугольник \(BEF\) равнобедренный. Поэтому

\[\angle EBF=\angle BFE.\]

Точки \(E\) и \(F\) лежат на сторонах \(AB\) и \(BC\), значит

\[\angle EBF=\angle ABC.\]

Следовательно, \(\angle BFE=\angle ABC\). Лучи \(FB\) и \(FC\) — противоположные, поэтому

\[\angle EFC=180^\circ-\angle ABC.\]

Луч \(FK\) — биссектриса угла \(EFC\), значит

\[\angle KFC=\frac{180^\circ-\angle ABC}{2}.\]

Треугольник \(ABC\) равнобедренный, поэтому

\[\angle BCA=\frac{180^\circ-\angle ABC}{2}.\]

Так как \(F\) лежит на \(BC\), а \(K\) — на \(AC\), то \(\angle FCK=\angle BCA\). Значит, \(\angle KFC=\angle FCK\). В треугольнике \(KFC\) равны углы при \(F\) и \(C\), следовательно, равны противолежащие стороны:

\[KF=KC.\]

0 0 Пожаловаться