Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 1/a + 1/b + 1/(ab) = 1/5?

Преобразуем уравнение:

\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{5}.\]

Умножим на \(5ab\):

\[5a+5b+5=ab.\]

Перенесём слагаемые и разложим на множители:

\[ab-5a-5b=5,\]

\[(a-5)(b-5)=30.\]

Число \(30\) имеет \(8\) положительных делителей: \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\). Каждому делителю соответствует упорядоченная пара натуральных чисел \(a\) и \(b\).

Ответ: \(8\) решений.

0 0 Пожаловаться