Найдите корень уравнения: cos(π(x-3)/3) = 1/2. В ответе запишите наименьший положительный корень.
Найдите корень уравнения: cos(π(4x + 4)/6) = √3/2. В ответе запишите наименьший положительный корень.
Найдите корень уравнения: √(-6-7x) = -x. Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.

1) \( \cos\frac{\pi(x-3)}{3}=\frac12 \)

Косинус равен \( \frac12 \), когда угол равен \( \pm\frac{\pi}{3}+2\pi k \).

\[ \frac{\pi(x-3)}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k \]

Делим на \( \pi \) и умножаем на \( 3 \):

\[ x-3=\pm1+6k \]

Получаем:

\[ x=2+6k \quad \text{или} \quad x=4+6k \]

Наименьший положительный корень: \( 2 \).

2) \( \cos\frac{\pi(4x+4)}{6}=\frac{\sqrt3}{2} \)

Косинус равен \( \frac{\sqrt3}{2} \), когда угол равен \( \pm\frac{\pi}{6}+2\pi k \).

\[ \frac{\pi(4x+4)}{6}=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k \]

Делим на \( \pi \) и умножаем на \( 6 \):

\[ 4x+4=\pm1+12k \]

Отсюда:

\[ x=\frac{-3+12k}{4} \quad \text{или} \quad x=\frac{-5+12k}{4} \]

При \( k=1 \) получаем положительные корни \( \frac94 \) и \( \frac74 \). Наименьший из них: \( \frac74 \).

3) \( \sqrt{-6-7x}=-x \)

Правая часть должна быть неотрицательной, значит \( x\le 0 \). Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( -6-7x\ge0 \), то есть \( x\le -\frac67 \).

Возводим в квадрат:

\[ -6-7x=x^2 \]

\[ x^2+7x+6=0 \]

\[ (x+1)(x+6)=0 \]

Корни: \( x=-1 \) и \( x=-6 \). Оба подходят. Больший из них: \( -1 \).

0 0 Пожаловаться