Интеграл √x × lnx dx

Нужно найти интеграл:

\[\int \sqrt{x}\,\ln x\,dx=\int x^{\frac12}\ln x\,dx\]

Используем интегрирование по частям: \(u=\ln x\), \(dv=x^{\frac12}dx\). Тогда \(du=\frac{1}{x}dx\), \(v=\frac{2}{3}x^{\frac32}\).

Получаем:

\[\int x^{\frac12}\ln x\,dx=\frac{2}{3}x^{\frac32}\ln x-\frac{2}{3}\int x^{\frac12}dx\]

\[=\frac{2}{3}x^{\frac32}\ln x-\frac{4}{9}x^{\frac32}+C\]

Ответ: \(\frac{2}{3}x^{\frac32}\ln x-\frac{4}{9}x^{\frac32}+C\).

0 0 Пожаловаться