Найдите наименьшее значение функции y = 4(x+9)²·e^(4x+1) на отрезке [-9,5; -0,25].
Как здесь вычислить производную?

Функция: \( y=4(x+9)^2e^{4x+1} \).

Производную считаем по правилу произведения: отдельно берём производную \( (x+9)^2 \) и \( e^{4x+1} \):

\[ y'=4\left(2(x+9)e^{4x+1}+(x+9)^2\cdot 4e^{4x+1}\right) \]

Выносим общее:

\[ y'=8e^{4x+1}(x+9)(2x+19) \]

Критические точки: \( x=-9 \) и \( x=-9{,}5 \). Обе попадают в отрезок \( [-9{,}5;-0{,}25] \), причём \( -9{,}5 \) — это конец отрезка.

Проверяем значения:

\[ y(-9)=4\cdot 0^2\cdot e^{-35}=0 \]

Так как квадрат и показательная функция неотрицательны, меньше нуля значение быть не может.

Наименьшее значение функции равно \( 0 \).

0 0 Пожаловаться