5. На дискотеке n юношей танцевали с n девушками. В каждой паре юноша был выше девушки, но не более чем на 10 см. Докажите, что если поставить танцевать самого высокого юношу с самой высокой девушкой, второго по росту – со второй, и т. д., то по-прежнему в каждой паре юноша будет выше девушки и опять же не более чем на 10 см.

Расположим юношей и девушек по убыванию роста: \(b_1\ge b_2\ge\ldots\ge b_n\) и \(g_1\ge g_2\ge\ldots\ge g_n\).

Докажем, что для каждого номера \(i\) выполняется \(0<b_i-g_i\le10\).

Рассмотрим \(i\) самых высоких девушек. Каждая из них в первоначальных парах танцевала с юношей выше неё. Эти юноши различны, значит, существует не менее \(i\) юношей выше или равных по росту \(g_i\). Поэтому \(b_i>g_i\).

Теперь рассмотрим \(i\) самых высоких юношей. Каждый из них в первоначальной паре был выше девушки не более чем на \(10\) см. Значит, девушки из этих \(i\) пар имеют рост не меньше \(b_i-10\). Следовательно, \(g_i\ge b_i-10\), то есть \(b_i-g_i\le10\).

Итак, при новой расстановке каждый юноша выше своей партнёрши, но не более чем на \(10\) см.

0 0 Пожаловаться