СКОРОСТЬ колеблющегося на пружине груза меняется по закону v(t)=5sinπt (см/с),где t-время в секундах. какую долю времени из первых двух секунд скорость движения превышала 2,5см/с.ответ выразить десятичной дробья,если нужно,округлить до сотых.

Давайте подробно разберём задачу.

У нас задана скорость движения груза как функция времени:

где $t$ — время в секундах, а $v(t)$ — скорость в см/с. Необходимо найти, какую долю времени в интервале $t \in [0; 2]$ скорость превышает $2.5 \, \text{см/с}$.

1. Условие превышения скорости

Скорость превышает $2.5 \, \text{см/с}$, если:

Подставим выражение для $v(t)$:

Разделим обе стороны на 5:

2. Решение уравнения

Найдём, при каких значениях $t$ выполняется это неравенство. Уравнение $\sin(\pi t) = 0.5$ имеет решение:

где $\arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}$, поэтому:

Функция синуса периодическая с периодом $2$, поэтому в интервале $t \in [0; 2]$ превышение $\sin(\pi t) > 0.5$ происходит дважды:

1. Первый отрезок: $t \in \left(\frac{1}{6}, \frac{5}{6}\right)$,
2. Второй отрезок: $t \in \left(1 + \frac{1}{6}, 1 + \frac{5}{6}\right)$.

3. Длительность интервалов

Длина каждого интервала, где $\sin(\pi t) > 0.5$, равна:

И таких интервалов два (в интервале $t \in [0; 2]$).

Общая длительность времени, когда $v(t) > 2.5$, составляет:

4. Доля времени

Общая длина интервала времени — 2 секунды. Доля времени, когда $v(t) > 2.5$, равна:

Ответ:

Доля времени, когда скорость превышала $2.5 \, \text{см/с}$, равна 0.67 (округлено до сотых).