Эскалатор спускает идущего по нему вниз человека за 30 секунд. Если человек будет идти вниз втрое быстрее, то он спустится за 15 секунд. Сколько времени спускается человек, стоящий на эскалаторе? Дайте ответ в секундах.

Для того чтобы решить эту задачу, давайте обозначим несколько переменных и проанализируем данные:

• Пусть $L$ — длина эскалатора (в единицах времени, например, секунд).
• Пусть $v$ — скорость движения человека (в единицах длины эскалатора в секунду).
• Пусть $u$ — скорость движения эскалатора (в единицах длины эскалатора в секунду).

1. Первый случай — человек идет нормально по эскалатору:

Когда человек идет по эскалатору в обычном режиме, его скорость относительно земли — это сумма скорости движения эскалатора $u$ и скорости человека $v$. Из условия задачи известно, что он спускается за 30 секунд. Таким образом, время, которое человек тратит на спуск, можно выразить как:

2. Второй случай — человек идет втрое быстрее:

Когда человек идет втрое быстрее, его скорость будет $3v$. Тогда его общая скорость относительно земли будет $3v + u$. Он спускается за 15 секунд, поэтому:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $\frac{L}{v + u} = 30$
2. $\frac{L}{3v + u} = 15$

3. Решение системы уравнений:

Из первого уравнения выразим $L$:

Подставим это значение во второе уравнение:

Умножим обе стороны на $3v + u$:

Раскроем скобки:

Теперь перенесем все члены, содержащие $v$, в одну сторону, а все члены, содержащие $u$, в другую:

Таким образом, $u = v$.

4. Подставим $u = v$ в одно из уравнений:

Возьмем первое уравнение:

Подставим $u = v$:

Отсюда $L = 60v$.

5. Теперь найдем время спуска человека, стоящего на эскалаторе:

Когда человек стоит на эскалаторе и не двигается, его скорость — это только скорость движения самого эскалатора $u$. Время, которое он тратит на спуск, можно выразить как:

Так как $L = 60v$, то:

Ответ: человек, стоящий на эскалаторе, спустится за 60 секунд.