Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков.За неправильный ответ списывали 13 очков.При отсутствии ответов-0 очков.Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что, по крайней мере, он один раз ошибся.

Для решения задачи давайте обозначим количество верных ответов как $x$, количество неверных ответов как $y$, и количество пропущенных вопросов как $z$.

Дано:

1. Всего 33 вопроса:
   $x + y + z = 33$.
2. За каждый правильный ответ ученик получает 7 очков, за каждый неправильный — теряет 13 очков. За пропуск вопроса очков не теряет, но и не получает.
   Суммарные очки ученика:
   $7x - 13y = 56$.
3. Ученику хотя бы один раз не удалось правильно ответить на вопрос, то есть $y \geq 1$.

Теперь решим систему уравнений:

Шаг 1: Из первого уравнения выразим $z$

Шаг 2: Подставим это выражение в второе уравнение

Из уравнения $7x - 13y = 56$ выразим $y$ через $x$:

Шаг 3: Найдем допустимые значения $x$

Чтобы $y$ было целым числом, числитель $7x - 56$ должен делиться на 13. Решим это деление:

Приведем 56 по модулю 13:

Таким образом, у нас получается:

Теперь решим это линейное congruence для $x$. Для этого нужно найти обратный элемент к 7 по модулю 13. Проверим, чему равен обратный элемент:

Значит, обратный элемент к 7 по модулю 13 — это 2. Умножим обе стороны уравнения $7x \equiv 4 \pmod{13}$ на 2:

Таким образом, $x = 13k + 8$ для некоторого целого $k$.

Шаг 4: Подставим значения $x$ в уравнение

Теперь подставим возможные значения $x$ в уравнение $x + y + z = 33$. Начнем с $x = 8$.

Для $x = 8$:

Но это не соответствует условию задачи, так как ученик хотя бы один раз ошибся ($y \geq 1$).

Для $x = 21$:

Это решение подходит, так как $y = 7$, что удовлетворяет условию задачи.

Шаг 5: Проверим решение

Подставим $x = 21$ и $y = 7$ в формулу для подсчета очков:

Это соответствует заданному числу очков.

Ответ:

Ученик дал 21 правильный ответ.