Начертили отрезок АВ длиной 8 см и две окружности радиусом 4 см 2 см с центрами в концах этого отрезка. Окружности пересекают отрезок АВ в точках С и D. Найдите длину отрезка CD

Давайте решим задачу подробно и пошагово.

Дано:

1. Отрезок $AB$ длиной $8 \, \text{см}$.
2. Две окружности:
   • Радиус $R_1 = 4 \, \text{см}$, центр в точке $A$.
   • Радиус $R_2 = 2 \, \text{см}$, центр в точке $B$.
3. Эти окружности пересекают отрезок $AB$ в точках $C$ и $D$.

Нужно найти длину отрезка $CD$.

Решение:

Шаг 1: Расположение точек

Расположим отрезок $AB$ на координатной прямой:

• Пусть $A = (0, 0)$, а $B = (8, 0)$.

Окружность с центром в точке $A$ (радиус $4$) задается уравнением:

Окружность с центром в точке $B$ (радиус $2$) задается уравнением:

Шаг 2: Найдем пересечения окружностей с осью $AB$

Обе окружности пересекают ось $AB$, то есть $y = 0$. Подставим $y = 0$ в каждое из уравнений.

Для окружности с центром в $A$:

Но нас интересует только положительная часть $AB$ ($0 \leq x \leq 8$), поэтому $x = 4$. Точка $C$ имеет координаты $(4, 0)$.

Для окружности с центром в $B$:

Отсюда:

Две точки пересечения: $x = 6$ и $x = 10$. Но $x = 10$ лежит за пределами $AB$, поэтому выбираем $x = 6$. Точка $D$ имеет координаты $(6, 0)$.

Шаг 3: Найдем длину отрезка $CD$

Точки $C$ и $D$ лежат на оси $AB$, их координаты:

• $C = (4, 0)$,
• $D = (6, 0)$.

Длина отрезка $CD$ равна разнице их $x$-координат:

Ответ:

Длина отрезка $CD$ равна $2 \, \text{см}$.