Бабушка решила разделить пряники между внуками поровну. Она подсчитала, что если бы пряников было на 14 больше, то их можно было бы разделить поровну. А если бы пряников было на 5 штук больше, то после деления поровну осталось бы два лишних пряника. Сколько у бабушки внуков?

Давайте разберем задачу по шагам.

Обозначим количество внуков за $n$ (это неизвестное, которое мы ищем), а общее количество пряников — за $k$.

Условия задачи:

1. Если бы пряников было на 14 больше ($k + 14$), их можно было бы разделить между внуками поровну. Это означает, что $k + 14$ делится на $n$ без остатка:

   $$k + 14 = mn, \text{ где } m \text{ — целое число.}$$

2. Если бы пряников было на 5 больше ($k + 5$), то после деления между внуками оставалось бы два лишних пряника. Это означает, что при делении $k + 5$ на $n$ остаток равен 2:

   $$k + 5 = pn + 2, \text{ где } p \text{ — целое число.}$$

Преобразуем уравнения:

Из первого условия:

Из второго условия:

то есть:

Уравняем правые части:

Перенесем все, связанное с $n$, влево, а числа — вправо:

Вынесем $n$ за скобки:

Разберем возможные значения:

Число 11 — простое, поэтому возможны только такие пары $n$ и $m - p$, где $m - p$ — делитель 11. Возможные варианты:

1. $n = 11, m - p = 1$;
2. $n = 1, m - p = 11$ (не подходит, потому что у бабушки явно больше одного внука).

Значит, $n = 11$, и $m - p = 1$.

Проверка:

Теперь найдем $k$, исходя из условий задачи. Подставим $n = 11$ в первое уравнение $k + 14 = mn$:

Значит:

Из второго уравнения $k + 5 = pn + 2$:

Уравняем два выражения для $k$:

Упростим:

Значит, $m - p = 1$, что подтверждает, что $n = 11$ (число внуков).

Ответ:

У бабушки 11 внуков.