Около шара радиуса R описан правильный тетраэдр. Найдите площадь поверхности тетраэдра.

Для того чтобы найти площадь поверхности правильного тетраэдра, описанного около шара радиуса $R$, давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Геометрия тетраэдра: Правильный тетраэдр — это многогранник, состоящий из четырех равносторонних треугольников, и все его вершины лежат на сфере. Таким образом, шар описан вокруг тетраэдра, а его центром является центр шара.

2. Связь радиуса шара и расстояния от центра до вершин тетраэдра: Так как тетраэдр правильный и все его вершины лежат на поверхности шара, то расстояние от центра шара до каждой из вершин тетраэдра равно радиусу шара $R$. Это расстояние — это же апофема тетраэдра, то есть расстояние от центра тетраэдра до середины основания.

3. Вывод формулы для площади поверхности: Площадь поверхности правильного тетраэдра состоит из четырех равных треугольных граней, каждая из которых имеет площадь, зависящую от длины ребра тетраэдра. Для нахождения площади поверхности тетраэдра, описанного около шара, необходимо связать длину ребра $a$ с радиусом шара $R$.

4. Длина ребра тетраэдра: Известно, что расстояние от центра тетраэдра до вершины (апофема) равно $R$, а апофема $h$ правильного тетраэдра связана с длиной его ребра $a$ формулой:

   $$h = \frac{\sqrt{6}}{3} a.$$

   Поскольку $h = R$, получаем:

   $$R = \frac{\sqrt{6}}{3} a.$$

   Отсюда длина ребра $a$ тетраэдра выражается как:

   $$a = \frac{3R}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2} R.$$

5. Площадь одной грани тетраэдра: Каждая грань тетраэдра — это равносторонний треугольник с длиной стороны $a$. Площадь такого треугольника можно найти по формуле для площади равностороннего треугольника:

   $$S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2.$$

   Подставим значение $a$ из предыдущего шага:

   $$S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{\sqrt{6}}{2} R\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{6}{4} R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{8} R^2.$$

6. Площадь поверхности тетраэдра: Площадь поверхности тетраэдра состоит из четырех таких граней, то есть общая площадь поверхности $S_{\text{поверхности}}$ будет:

   $$S_{\text{поверхности}} = 4 \cdot S_{\text{треугольника}} = 4 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2.$$

Таким образом, площадь поверхности правильного тетраэдра, описанного около шара радиуса $R$, равна: