Двое играют в "орлянку", подбрасывая монету по очереди. Выигрывает тот, у кого первого выпадает "орел". Найти вероятность выигрышей игроков в одной игре.

Задача состоит в том, чтобы найти вероятность того, что один из игроков выиграет в игре "орлянка", где они подбрасывают монету по очереди, а выигрывает тот, у кого первым выпадает "орел".

Пусть игроки называются Игрок 1 и Игрок 2, и они подбрасывают монету по очереди. Порядок подбрасываний такой:

1. Игрок 1 подбрасывает монету первым.
2. Если на первом подбрасывании выпадает "орел", то выигрывает Игрок 1.
3. Если выпадает "решка", то подбрасывает Игрок 2.
4. Если на подбрасывании Игрока 2 выпадает "орел", то выигрывает Игрок 2.
5. Если выпала "решка" у обоих игроков, игра продолжается с того же места (то есть снова начинает Игрок 1).

Обозначения и подход к решению:

Предположим, что монета не имеет предпочтений, то есть вероятность выпадения "орел" или "решка" на каждом подбрасывании равна $\frac{1}{2}$.

Наша задача — найти вероятность того, что Игрок 1 выиграет (обозначим её как $P_1$) и вероятность того, что Игрок 2 выиграет (обозначим её как $P_2$).

Подсчитаем вероятность выигрыша каждого игрока:

1. Игрок 1 выигрывает на первом подбрасывании: Вероятность того, что Игрок 1 выиграет на первом подбрасывании, равна $\frac{1}{2}$, поскольку монета может выпасть "орел" с вероятностью $\frac{1}{2}$.

2. Игрок 1 не выигрывает на первом подбрасывании (выпала "решка"), и Игрок 2 не выигрывает на своем подбрасывании (выпала "решка"): Если на подбрасываниях обоих игроков выпала "решка", игра продолжается с того же места, то есть снова начинают подбрасывать монету Игрок 1 и Игрок 2, но ситуация не меняется, и игра возвращается в исходное состояние. Таким образом, вероятность того, что мы вернемся к начальной ситуации, равна $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Теперь, используя эти факты, можно записать рекуррентные уравнения для вероятностей $P_1$ (вероятность выигрыша Игрока 1) и $P_2$ (вероятность выигрыша Игрока 2).

Уравнения для вероятностей:

1. Игрок 1 может выиграть сразу на своем первом подбрасывании с вероятностью $\frac{1}{2}$, или же игра может вернуться в исходное состояние (если на обоих подбрасываниях выпала "решка") с вероятностью $\frac{1}{4}$. Поэтому вероятность выигрыша Игрока 1 можно записать как:

   $$P_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot P_1.$$

2. Игрок 2 может выиграть, если на подбрасывании Игрока 1 выпадет "решка" и на подбрасывании Игрока 2 выпадет "орел". Это событие происходит с вероятностью $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Кроме того, если оба игрока не выигрывают, игра возвращается в исходное состояние с вероятностью $\frac{1}{4}$, и снова можно применить те же вероятности. Поэтому вероятность выигрыша Игрока 2 можно записать как:

   $$P_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot P_2.$$

Решение уравнений:

1. Из первого уравнения:

   $$P_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot P_1.$$

   Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:

   $$4P_1 = 2 + P_1.$$

   Переносим $P_1$ в одну сторону:

   $$4P_1 - P_1 = 2,$$ $$3P_1 = 2,$$ $$P_1 = \frac{2}{3}.$$

2. Из второго уравнения:

   $$P_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot P_2.$$

   Умножим обе части на 4:

   $$4P_2 = 1 + P_2.$$

   Переносим $P_2$ в одну сторону:

   $$4P_2 - P_2 = 1,$$ $$3P_2 = 1,$$ $$P_2 = \frac{1}{3}.$$

Ответ:

Таким образом, вероятность того, что Игрок 1 выиграет, равна $\frac{2}{3}$, а вероятность того, что Игрок 2 выиграет, равна $\frac{1}{3}$.