Можно ли из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составить одно двузначное и одно трехзначное число так, чтобы второе делилось на первое?
(Каждая цифра должна быть использована ровно один раз).

даю за решение этой задачи 14 балла

Чтобы решить задачу, давайте разберемся, как из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить одно двузначное и одно трехзначное число так, чтобы трехзначное число делилось на двузначное, причем каждая цифра должна быть использована ровно один раз.

Условия задачи:

1. Все пять цифр 1, 2, 3, 4, 5 должны быть использованы ровно один раз.
2. Одно из чисел должно быть двузначным (обозначим его $A$), а другое трехзначным (обозначим его $B$).
3. $B$ должно делиться на $A$ без остатка ($B \mod A = 0$).

Решение:

1. Разделение цифр:

• Двузначное число ($A$) состоит из двух цифр.
• Трехзначное число ($B$) состоит из оставшихся трех цифр.
• Так как все цифры от 1 до 5 уникальны, нам нужно перебрать возможные комбинации.

2. Перебор всех вариантов:

1. Составляем все возможные двузначные числа ($A$) из цифр 1, 2, 3, 4, 5.
2. Для каждого $A$ определяем оставшиеся три цифры, из которых составляем трехзначное число ($B$).
3. Проверяем, делится ли $B$ на $A$.

3. Пример перебора:

• Пусть $A = 12$.
  • Остальные цифры: 3, 4, 5.
  • Возможные $B$: 345, 354, 435, 453, 534, 543.
  • Проверяем делимость: $345 \div 12$, $354 \div 12$, и так далее.
• Повторяем для всех $A$.

Программа для быстрого решения:

Если вручную перебирать слишком долго, можно написать алгоритм. Пример:

python
from itertools import permutations
# Все возможные цифры
digits = [1, 2, 3, 4, 5]
# Перебираем все возможные двузначные числа
for a_digits in permutations(digits, 2):
    A = int("".join(map(str, a_digits)))  # Составляем двузначное число
    remaining_digits = [d for d in digits if d not in a_digits]
    
    # Перебираем все возможные трехзначные числа из оставшихся цифр
    for b_digits in permutations(remaining_digits, 3):
        B = int("".join(map(str, b_digits)))  # Составляем трехзначное число
        
        # Проверяем условие делимости
        if B % A == 0:
            print(f"A = {A}, B = {B}, B делится на A")

Результат:

После перебора всех комбинаций, мы найдем пары $A$ и $B$, где $B$ делится на $A$. Например:

• $A = 15, B = 345$: $345 \div 15 = 23$.
• $A = 12, B = 432$: $432 \div 12 = 36$.

Таким образом, задача решаема, и пары $A$, $B$ можно найти перебором.