Незнайка записал себе в тетрадь натуральное число и разделил его на 13 и 7. В обоих случаях он получил одинаковые неполные частные, но в первом случае деление было без остатка, а во втором он получил остаток 6. В ответе укажите наибольшее из них.

Для решения этой задачи давайте разберем условия и проведем вычисления шаг за шагом.

Условие задачи

• Незнайка записал натуральное число $N$.
• При делении этого числа на $13$ и $7$ он получил одинаковые неполные частные.
• Деление на $13$ было без остатка.
• При делении на $7$ он получил остаток $6$.

Наша задача — найти $N$, которое соответствует этим условиям, и указать его наибольшее значение.

1. Представление чисел при делении

Пусть $q$ — неполное частное, которое Незнайка получил в обоих случаях. Тогда из условия задачи можно записать:

1. $N = 13q$ — так как деление на $13$ произошло без остатка.
2. $N = 7q + 6$ — так как при делении на $7$ остаток равен $6$.

2. Выразим $N$ и составим уравнение

Из первого уравнения мы знаем, что $N = 13q$. Подставим это выражение во второе уравнение:

Решим уравнение относительно $q$:

3. Найдем $N$

Теперь, когда мы знаем $q = 1$, подставим это значение в выражение для $N$:

4. Проверка условия задачи

Проверим, соответствует ли найденное $N = 13$ условиям задачи:

1. $13 \div 13 = 1$, остаток $0$ — условие выполняется.
2. $13 \div 7 = 1$, остаток $6$ — условие выполняется.

Все условия задачи выполнены.

5. Наибольшее значение $N$

Из задачи следует, что $q$ может быть любым натуральным числом ($q = 1, 2, 3, \ldots$). Чтобы найти наибольшее $N$, будем искать большее $q$, при котором $N$ остается натуральным числом.

Общее выражение для $N$:

Чтобы $N$ удовлетворяло обоим условиям, $13q$ должно быть кратным $7$ плюс $6$. Мы можем увеличивать $q$, пока $N$ остается натуральным.

Таким образом, если ограничений на $q$ нет, $N$ теоретически может быть любым числом вида $91k + 13$, где $k$ — натуральное число.