Перед входом в крепость сложена пирамида из одинаковых пушечных ядер (в основании — правильный треугольник, и ядра каждого следующего слоя лежат в ямках предыдущего слоя). Каким может быть количество ядер в этой пирамиде?

Для решения задачи определим, каким образом формируется пирамида из пушечных ядер и как рассчитывается их общее количество. Пирамида имеет основание в виде правильного треугольника, и ядра каждого следующего слоя располагаются в ямках предыдущего слоя. Значит, количество ядер в слоях уменьшается по мере подъема вверх.

Основные шаги:

1. Количество ядер в основании:
   Если основание пирамиды — правильный треугольник, то количество ядер в нем можно выразить через треугольное число. $T_n$, где $n$ — это число ядер на одной стороне треугольника, рассчитывается по формуле:

   $$T_n = \frac{n(n+1)}{2}$$

   Например:

   • Если $n = 1$: $T_1 = 1$
   • Если $n = 2$: $T_2 = 3$
   • Если $n = 3$: $T_3 = 6$, и так далее.

2. Количество ядер в каждом слое:
   В каждом следующем слое количество ядер также образует треугольное число, но с меньшим $n$. Например, если первый слой (основание) имеет $T_4 = 10$ ядер (основание с 4 ядрами на стороне), то второй слой будет иметь $T_3 = 6$, затем $T_2 = 3$, и верхний слой — $T_1 = 1$.

3. Общее количество ядер в пирамиде:
   Для подсчета общего количества ядер $S$, нужно суммировать треугольные числа всех слоев. Если пирамида состоит из $k$ слоев, то:

   $$S = T_k + T_{k-1} + T_{k-2} + \ldots + T_1$$

   Используя свойства треугольных чисел, сумма треугольных чисел может быть вычислена по формуле:

   $$S = \frac{k(k+1)(k+2)}{6}$$

Примеры:

1. Если пирамида состоит из 3 слоев:

   • Основание (3 ядра на стороне): $T_3 = 6$
   • Второй слой: $T_2 = 3$
   • Верхний слой: $T_1 = 1$
     Общее количество: $S = 6 + 3 + 1 = 10$.

2. Если пирамида состоит из 4 слоев:

   • Основание (4 ядра на стороне): $T_4 = 10$
   • Второй слой: $T_3 = 6$
   • Третий слой: $T_2 = 3$
   • Верхний слой: $T_1 = 1$
     Общее количество: $S = 10 + 6 + 3 + 1 = 20$.

Вывод:

Количество ядер в пирамиде может быть любым числом, которое соответствует сумме треугольных чисел, то есть может быть вычислено по формуле:

где $k$ — число слоев пирамиды. Это числа: 1, 4, 10, 20, 35 и так далее.