У Пети есть конфеты: 7 мятных, 9 лимонных, 6 клубничных и 8 вишневых. Петя хочет разложить все конфеты в несколько пакетиков так, чтобы ни в одном пакетике не было двух одинаковых конфет и чтобы во всех пакетиках было одинаковое количество конфет. 1) Какое самое маленькое количество пакетиков сможет собрать Петя? 2) Петя разложил все конфеты в 10 пакетиков, причём конфет во всех пакетиках одинаковое количество и ни в одном пакетике нет двух одинаковых конфет. Сколько у него получилось пакетиков, в которых есть и лимонная, и клубничная, и вишнёвая конфета?

Разбор задачи

Часть 1: Самое маленькое количество пакетиков

У Пети есть всего:

• 7 мятных конфет,
• 9 лимонных конфет,
• 6 клубничных конфет,
• 8 вишневых конфет.

Суммарное количество конфет: $7 + 9 + 6 + 8 = 30$.

Петя хочет разложить конфеты в несколько пакетиков так, чтобы:

1. В каждом пакетике было одинаковое количество конфет.
2. В каждом пакетике не было двух одинаковых конфет.

Максимальное количество конфет в одном пакетике равно числу типов конфет, то есть $4$ (мятная, лимонная, клубничная, вишнёвая). Если в пакетике будет более 4 конфет, то правило «ни в одном пакетике не было двух одинаковых конфет» нарушится. Значит, в каждом пакетике может быть ровно 4 конфеты.

Чтобы найти минимальное количество пакетиков, нужно разделить общее количество конфет на 4:

Так как результат деления $30 \div 4 = 7.5$, минимальное количество пакетиков, которое нужно, — это $8$ (округляем в большую сторону, потому что нельзя оставить конфеты вне пакетиков).

Ответ на первый вопрос: $8$ пакетиков.

Часть 2: Разложим конфеты в 10 пакетиков

Теперь Петя разложил конфеты в 10 пакетиков так, чтобы:

• В каждом пакетике одинаковое количество конфет.
• Ни в одном пакетике нет двух одинаковых конфет.

Если у нас $30$ конфет и $10$ пакетиков, то в каждом пакетике:

В каждом пакетике ровно 3 конфеты. Петя хочет узнать, сколько пакетиков содержат лимонную, клубничную и вишневую конфеты одновременно.

Можно ли в одном пакетике разместить все три вида (лимонная, клубничная, вишнёвая)?

Чтобы пакетики соответствовали условию, давайте разберёмся, как распределяются конфеты:

1. У Пети есть 9 лимонных конфет. Если он хочет положить хотя бы одну лимонную конфету в каждый пакетик, то лимонные конфеты окажутся максимум в $9$ пакетиках.
2. У Пети есть 6 клубничных конфет. Значит, клубничные конфеты могут быть распределены максимум по $6$ пакетикам.
3. У Пети есть 8 вишнёвых конфет, которые распределяются максимум по $8$ пакетикам.

Для того чтобы лимонная, клубничная и вишнёвая конфеты оказались в одном пакетике, нужно, чтобы один и тот же пакетик брал по одной конфете из каждого типа. Минимум 1 пакетик с таким составом возможен, но сколько таких пакетов получится?

Проверка состава пакетиков

Так как у Пети $10$ пакетиков, каждая из которых содержит по $3$ конфеты, он распределяет:

• $9$ лимонных конфет,
• $6$ клубничных конфет,
• $8$ вишнёвых конфет.

Петя может составить максимум $\min(9, 6, 8) = 6$ пакетиков, которые содержат лимонную, клубничную и вишневую конфеты, потому что клубничных конфет меньше всего (6 штук). Остальные пакетики будут содержать другие комбинации конфет.

Ответ на второй вопрос: $6$ пакетиков содержат одновременно лимонную, клубничную и вишневую конфеты.