Друзья сели за круглый стол и стали играть в игру:

1) каждый получил номер по порядку;
2) начиная с первого они рассчитываются на «первый», «второй»;
3) каждый "второй" встаёт и выходит из игры;

Который номер останется последним, если участников всего 11

Этот вопрос описывает классическую задачу, известную как задача Иосифа Флавия. Она связана с процессом, в котором люди выбывают из игры по определённому правилу, пока не останется только один человек. Разберем её подробно.

Условия задачи:

1. Всего 11 участников, у каждого есть номер от 1 до 11.
2. Рассчитываются по порядку: «первый», «второй».
3. Каждый, кто говорит «второй», выбывает из игры.
4. Процесс продолжается по кругу, пока не останется только один человек.

Решение:

1. Формализация:
Задача Иосифа решается с помощью рекуррентной формулы:
$J(n, k) = (J(n-1, k) + k) \mod n$
где:

• $J(n, k)$ — позиция оставшегося участника, если всего $n$ человек и шаг равен $k$;
• $n$ — количество участников;
• $k$ — шаг (в данном случае, каждый второй, то есть $k = 2$).

Начальное условие:

• $J(1, k) = 0$, если участник нумеруется с 0.

2. Решение для $k = 2$:
Мы решим задачу по порядку, начиная с 1 человека и добавляя участников до 11:

1. $J(1) = 0$ (первый человек остаётся).
2. $J(2) = (J(1) + 2) \mod 2 = 0 + 2 \mod 2 = 0$ (остался 1-й).
3. $J(3) = (J(2) + 2) \mod 3 = 0 + 2 \mod 3 = 2$.
4. $J(4) = (J(3) + 2) \mod 4 = 2 + 2 \mod 4 = 0$.
5. $J(5) = (J(4) + 2) \mod 5 = 0 + 2 \mod 5 = 2$.
6. $J(6) = (J(5) + 2) \mod 6 = 2 + 2 \mod 6 = 4$.
7. $J(7) = (J(6) + 2) \mod 7 = 4 + 2 \mod 7 = 6$.
8. $J(8) = (J(7) + 2) \mod 8 = 6 + 2 \mod 8 = 0$.
9. $J(9) = (J(8) + 2) \mod 9 = 0 + 2 \mod 9 = 2$.
10. $J(10) = (J(9) + 2) \mod 10 = 2 + 2 \mod 10 = 4$.
11. $J(11) = (J(10) + 2) \mod 11 = 4 + 2 \mod 11 = 6$.

Но это нумерация с 0! Чтобы перевести её в нумерацию с 1, нужно добавить 1: $J(11) = 6 + 1 = 7$.

Ответ:

Последним останется участник под номером 7.