В олимпиаде принимали участие 46 человек. им было предложено 3 задачи. после подведения итогов выяснилось, что хотя бы 1 задачу выполнил каждый из участников, 1 и 2 - 11 участников, 2 и 3 - 8 участников, 3 и 1 - 5 участников, а 1, 2 и 3 - 2 участника. Доказать, что хотя бы 1 из задач решили не менее половины участников.

Рассмотрим задачу с участниками и количеством решённых ими задач. Пусть $A$, $B$ и $C$ — множества участников, которые решили соответственно задачи 1, 2 и 3.

1. Из условия задачи известно, что:

   • Каждый участник выполнил хотя бы одну задачу, т.е. $|A \cup B \cup C| = 46$.
   • 11 участников решили задачи 1 и 2: $|A \cap B| = 11$.
   • 8 участников решили задачи 2 и 3: $|B \cap C| = 8$.
   • 5 участников решили задачи 1 и 3: $|A \cap C| = 5$.
   • 2 участника решили все три задачи: $|A \cap B \cap C| = 2$.

2. Применим принцип включений и исключений для нахождения общего количества участников, решивших хотя бы одну задачу:

   $$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|$$

   Подставим известные значения:

   $$46 = |A| + |B| + |C| - 11 - 8 - 5 + 2$$

   Упростим:

   $$46 = |A| + |B| + |C| - 22$$ $$|A| + |B| + |C| = 68$$

3. Теперь покажем, что хотя бы одна из задач была решена не менее чем половиной участников. Для этого рассмотрим минимальное количество решений по каждой задаче. Если все задачи решены по меньшей мере 23 участниками, то сумма этих решений будет как минимум 69. Однако, по предыдущим расчетам, сумма решений равна 68, что невозможно без того, чтобы хотя бы одна из задач была решена меньше, чем 23 участниками. Следовательно, хотя бы одна из задач была решена не менее чем 23 участниками, что и доказывает требуемое утверждение.