Две конвейерные линии по упаковке готовой продукции за час совместной работы упаковывают 6000 един продукции. Первой из этих линий для упаковки 6000 единиц продукции требуется времени на час больше, чем требуется второй линии для упаковки 8000 единиц продукции. Сколько единиц продукции упаковывает за час вторая линия?

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Обозначения

1. Пусть производительность первой линии составляет $x$ единиц продукции в час.
2. Производительность второй линии — $y$ единиц продукции в час.

Из условия задачи известно следующее:

1. За час совместной работы двух линий они упаковывают 6000 единиц продукции: $$x + y = 6000.$$
2. Для упаковки 6000 единиц продукции первой линии требуется на 1 час больше, чем второй линии требуется для упаковки 8000 единиц продукции. Время на упаковку определённого объёма продукции рассчитывается по формуле: $$t = \frac{\text{объём продукции}}{\text{производительность}}.$$ Для первой линии: $$t_1 = \frac{6000}{x}.$$ Для второй линии: $$t_2 = \frac{8000}{y}.$$ По условию: $$\frac{6000}{x} = \frac{8000}{y} + 1.$$

Система уравнений

Теперь у нас есть две основные зависимости:

1. $x + y = 6000,$
2. $\frac{6000}{x} = \frac{8000}{y} + 1.$

Решение системы

Из первого уравнения выразим $x$:

Подставим это выражение во второе уравнение:

Умножим обе части на $y(6000 - y)$, чтобы избавиться от дробей:

Раскроем скобки:

Упростим:

Перепишем в стандартной форме:

Решение квадратного уравнения

Используем дискриминант для решения:

где $a = 1$, $b = 8000$, $c = -48000000$:

Найдём корни:

Рассмотрим два случая:

1. $y = \frac{-8000 + 16000}{2} = 4000$,
2. $y = \frac{-8000 - 16000}{2} = -12000$ (отрицательное значение не подходит, так как производительность не может быть отрицательной).

Итак, $y = 4000$.

Проверка

1. Производительность второй линии $y = 4000$, а первой линии $x = 6000 - 4000 = 2000$.
2. Время, за которое первая линия упаковывает 6000 единиц продукции: $$t_1 = \frac{6000}{2000} = 3 \, \text{часа}.$$
3. Время, за которое вторая линия упаковывает 8000 единиц продукции: $$t_2 = \frac{8000}{4000} = 2 \, \text{часа}.$$
4. Разница во времени: $$t_1 - t_2 = 3 - 2 = 1 \, \text{час}.$$

Условия задачи выполнены.

Ответ:

Вторая линия упаковывает за час 4000 единиц продукции.