Пусть A =1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n . Выберите утверждения, верные для всех натуральных n>1. Ответы:
1) A> 1/2;
2) A>7/12 ;
3)3/5>А
; 4).1>A

Рассмотрим вопрос более подробно.

Нам дано выражение $A = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$, где $n > 1$. Мы должны проверить, какие утверждения о значении $A$ являются верными для всех натуральных $n > 1$. Рассмотрим каждое утверждение отдельно.

1. $A > \frac{1}{2}$:

Чтобы доказать это, можно заметить следующее:

• В сумме $A$ у нас $n$ слагаемых (так как числа от $n+1$ до $2n$ составляют ровно $n$ элементов).
• Каждое слагаемое меньше, чем $\frac{1}{n+1}$, но больше, чем $\frac{1}{2n}$. Таким образом: $$A > n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}.$$

Утверждение верно.

2. $A > \frac{7}{12}$:

Теперь оценим $A$ более точно:

• При $n = 2$: $A = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.
• Для $n > 2$: $A$ будет больше, чем при $n = 2$, так как появляются дополнительные слагаемые, и каждое слагаемое положительно.
• Таким образом, $A > \frac{7}{12}$ для всех $n > 1$.

Утверждение верно.

3. $\frac{3}{5} > A$:

Оценим значение $A$ сверху:

• Каждое слагаемое $\frac{1}{k}$ в сумме $A$ меньше $\frac{1}{n+1}$, поэтому: $$A < n \cdot \frac{1}{n+1}.$$
• Верхняя граница $n \cdot \frac{1}{n+1}$ стремится к 1 при больших $n$, но она всегда больше $\frac{3}{5}$ для $n > 1$. Следовательно, утверждение неверно.

4. $1 > A$:

Оценим $A$ сверху ещё раз:

• Каждое слагаемое меньше $\frac{1}{n+1}$, значит: $$A < n \cdot \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}.$$
• Для всех $n > 1$ величина $1 - \frac{1}{n+1} < 1$, следовательно, $A < 1$.

Утверждение верно.

Итог:

Верными являются утверждения:

• 1. $A > \frac{1}{2}$,
• 2. $A > \frac{7}{12}$,
• 4. $1 > A$.