В коробке лежат карандаши, всего их меньше 30. Если карандаши разложить в ряды по 5 штук в каждом, то один ряд окажется неполным. Если эти карандаши переложить в ряды по 4 штуки в каждом, то в неполном ряду окажется на 2 карандаша больше, чем при раскладывании по 5 штук в ряд. Сколько всего карандашей? Запишите решение и ответ.

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

1. Обозначения и условия задачи: Пусть $x$ — это общее количество карандашей в коробке. Из условия известно, что:

   • $x < 30$,
   • если карандаши разложить в ряды по 5 штук, то один ряд окажется неполным, то есть $x \mod 5 \neq 0$ (остаток от деления на 5 не равен нулю),
   • если карандаши разложить в ряды по 4 штуки, то остаток будет на 2 карандаша больше, чем при раскладывании по 5 штук. Это означает, что остаток от деления на 4 больше остатка от деления на 5 на 2 единицы, то есть $x \mod 4 = (x \mod 5) + 2$.

2. Анализ остатков:

   • Пусть остаток от деления $x$ на 5 равен $r_5$, то есть $x \mod 5 = r_5$, где $r_5$ — это число от 0 до 4.
   • Тогда остаток от деления $x$ на 4 равен $r_4$, то есть $x \mod 4 = r_4$, где $r_4$ — это число от 0 до 3.

   Согласно условию, $r_4 = r_5 + 2$. Таким образом, возможные значения остатков $r_5$ и $r_4$ следующие:

   • Если $r_5 = 0$, то $r_4 = 2$,
   • Если $r_5 = 1$, то $r_4 = 3$,
   • Если $r_5 = 2$, то $r_4 = 4$, но так как $r_4$ может быть не больше 3, этот случай исключается,
   • Если $r_5 = 3$, то $r_4 = 5$, что невозможно, так как остаток от деления на 4 не может быть 5,
   • Если $r_5 = 4$, то $r_4 = 6$, что также невозможно.

   Таким образом, остаются только два возможных случая:

   • $r_5 = 0$ и $r_4 = 2$,
   • $r_5 = 1$ и $r_4 = 3$.

3. Проверка возможных значений $x$: Рассмотрим каждый из этих случаев.

   • Случай 1: $r_5 = 0$ и $r_4 = 2$: В этом случае $x$ можно записать как:

     $$x = 5k \quad \text{(где \( k \) — целое число)}, \quad x \mod 4 = 2.$$

     Подставим $x = 5k$ в выражение $x \mod 4 = 2$:

     $$5k \mod 4 = 2.$$

     Заметим, что $5 \mod 4 = 1$, следовательно:

     $$5k \mod 4 = k \mod 4.$$

     Таким образом, $k \mod 4 = 2$, то есть $k = 4m + 2$, где $m$ — целое число. Подставим это в выражение для $x$:

     $$x = 5k = 5(4m + 2) = 20m + 10.$$

     Теперь проверим, что $x < 30$:

     $$20m + 10 < 30 \quad \Rightarrow \quad 20m < 20 \quad \Rightarrow \quad m < 1.$$

     Это значит, что $m = 0$, и тогда $x = 20(0) + 10 = 10$.

   • Случай 2: $r_5 = 1$ и $r_4 = 3$