Найдите самое большое четырёхзначное число, у которого каждая следующая цифра меньше предыдущей и которое делится на 18. Обоснуйте ваше решение.

Для того чтобы найти самое большое четырёхзначное число, у которого каждая следующая цифра меньше предыдущей и которое делится на 18, нужно выполнить несколько шагов:

Шаг 1. Условия задачи

Нам нужно найти четырёхзначное число, которое:

1. Является наибольшим возможным числом, то есть имеет как можно большее значение.
2. Каждая цифра этого числа строго меньше предыдущей, то есть цифры числа должны образовывать строго убывающую последовательность.
3. Число должно делиться на 18. Напомним, что число делится на 18, если оно делится одновременно на 2 и на 9.

Шаг 2. Определим, как устроены цифры числа

Поскольку цифры должны быть строго убывающими, наибольшее возможное четырёхзначное число будет состоять из четырёх различных цифр. Для максимизации числа начнём с самой большой цифры и будем по убыванию выбирать остальные цифры.

Таким образом, наибольшее четырёхзначное число, состоящее из убывающих цифр, будет начинаться с цифры 9, затем 8, 7 и так далее. Однако, чтобы соблюсти правила делимости на 18, необходимо учитывать дополнительные условия.

Шаг 3. Условие делимости на 18

Число делится на 18, если оно делится на 2 и на 9 одновременно.

1. Делимость на 2: Число делится на 2, если его последняя цифра чётная.
2. Делимость на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Шаг 4. Подбор числа, соответствующего всем условиям

Начнём с самой большой возможной цифры 9 и будем подбирать остальные цифры так, чтобы выполнить все условия.

Первый кандидат: 9876

• Цифры числа: 9, 8, 7, 6. Это строго убывающая последовательность.
• Проверим делимость на 2. Последняя цифра — 6, чётная, значит, число делится на 2.
• Проверим делимость на 9. Сумма цифр: $9 + 8 + 7 + 6 = 30$. 30 не делится на 9, значит, 9876 не делится на 9.

Второй кандидат: 9864

• Цифры числа: 9, 8, 6, 4. Строго убывающая последовательность.
• Проверим делимость на 2. Последняя цифра — 4, чётная, значит, число делится на 2.
• Проверим делимость на 9. Сумма цифр: $9 + 8 + 6 + 4 = 27$. 27 делится на 9, значит, число делится на 9.

Поскольку число 9864 делится на 2 и на 9, оно делится на 18.

Ответ:

Самое большое четырёхзначное число, у которого каждая следующая цифра меньше предыдущей и которое делится на 18, — это 9864.