Полоску разрезали на 9 частей.После этого самую большую из полученных частей снова разрезали на 9 частей. Затем снова самую большую из полученных частей разрезали на 9 частей. Так поступили много раз: на каждом шаге самую большую часть разрезали на 9 частей. Могло ли в итоге получиться 997 частей?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно понять, как изменяется количество частей при каждом делении наибольшей части на 9 частей.

1. Изначально, после первого разрезания полосы на 9 частей, у нас есть 9 частей.
2. Когда мы разрезаем одну из этих частей на 9 меньших частей, мы добавляем ещё 8 новых частей, так как одна из девяти новых частей заменяет разрезаемую. Итого, после второго шага будет $9 + 8 = 17$ частей.
3. На каждом следующем шаге мы повторяем этот процесс: разрезаем самую большую часть на 9 меньших, что добавляет ещё 8 новых частей к общему количеству.

Теперь, чтобы выяснить, можем ли мы получить ровно 997 частей, нам нужно понять, можем ли мы выразить 997 как результат таких последовательных увеличений на 8. Другими словами, мы должны проверить, может ли уравнение $9 + 8n = 997$ быть верным для какого-то целого числа $n$, где $n$ - количество дополнительных разрезаний после первоначального.

Решим это уравнение:

Поскольку $n$ должно быть целым числом (так как мы не можем совершить половину действия разрезания), получается, что мы не можем получить ровно 997 частей, используя описанный метод разрезания.