Розкласти многочлен x^4+x^2+1 на множники і знайти суму вільних членів многочленів розкладу

Ми маємо многочлен $x^4 + x^2 + 1$, і наше завдання — розкласти його на множники та знайти суму вільних членів множників.

Крок 1: Погляд на структуру багато-члена

Ми бачимо, що у нас є многочлен з кількома степенями $x$. У ньому є тільки $x^4$, $x^2$ і константа (1). Такий вираз часто можна спробувати розкласти через змінну, тобто за допомогою підстановки.

Крок 2: Заміна змінної

Позначимо $y = x^2$. Тоді наш многочлен $x^4 + x^2 + 1$ можна переписати як:

Тепер нам потрібно розкласти цей многочлен $y^2 + y + 1$.

Крок 3: Розклад на множники

Розглянемо рівняння $y^2 + y + 1 = 0$. Воно має корені за допомогою формули для розв'язку квадратного рівняння:

Це дає комплексні корені:

Ці корені є кубічними коренями одиниці, тобто $y$ може набувати значень $\omega$ і $\omega^2$, де $\omega = e^{2\pi i / 3}$ — це корінь кубічного рівняння $y^2 + y + 1 = 0$.

Оскільки вираз $y^2 + y + 1$ не можна розкласти на множники в дійсних числах, але він може бути записаний як:

Крок 4: Підставляємо назад $y = x^2$

Підставимо назад $y = x^2$, отримуємо:

Крок 5: Визначення вільних членів

Тепер нам потрібно знайти вільні члени у розкладі. Для цього розглянемо добуток:

Множимо:

Знаємо, що $\omega + \omega^2 = -1$ (оскільки $\omega$ і $\omega^2$ — це корені рівняння $y^2 + y + 1 = 0$), а також $\omega \cdot \omega^2 = 1$. Тому маємо:

Вільний член у цьому виразі — це $1$.

Відповідь:

Вільний член у кожному з множників — це $1$. Сума вільних членів множників дорівнює $1 + 1 = 2$.

Таким чином, сума вільних членів розкладу многочлена $x^4 + x^2 + 1$ на множники дорівнює 2.