Даны вершины четырёхугольника : A (-9; 0), B(-3, +6), C(+3, +4), D(+6, -3). Найти точку пересечения его диагоналей AC и BD и вычеслить угол между ними.

Для того чтобы решить задачу, давайте разберемся поэтапно.

Шаг 1. Найдем уравнения прямых, проходящих через диагонали AC и BD.

1. Прямая AC: Вершины A (-9; 0) и C (+3; +4). Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, используем формулу для нахождения углового коэффициента (к):

   $$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 0}{3 - (-9)} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

   Теперь используем формулу для уравнения прямой $y = kx + b$, где $b$ — это точка пересечения прямой с осью $y$. Для этого подставим координаты точки A (-9; 0):

   $$0 = \frac{1}{3}(-9) + b \quad \Rightarrow \quad b = 3$$

   Таким образом, уравнение прямой AC:

   $$y = \frac{1}{3}x + 3$$

2. Прямая BD: Вершины B (-3; 6) и D (+6; -3). Найдем угловой коэффициент:

   $$k = \frac{-3 - 6}{6 - (-3)} = \frac{-9}{9} = -1$$

   Теперь находим уравнение прямой BD. Подставляем координаты точки B (-3; 6) в уравнение $y = kx + b$:

   $$6 = -1(-3) + b \quad \Rightarrow \quad b = 3$$

   Таким образом, уравнение прямой BD:

   $$y = -x + 3$$

Шаг 2. Находим точку пересечения диагоналей.

Для нахождения точки пересечения прямых AC и BD приравняем их уравнения:

Убираем 3 с обеих сторон:

Умножаем обе части на 3:

Переносим $-3x$ в левую часть:

Теперь подставляем $x = 0$ в одно из уравнений для нахождения $y$. Пусть это будет уравнение прямой AC:

Таким образом, точка пересечения диагоналей — это $(0; 3)$.

Шаг 3. Находим угол между прямыми AC и BD.

Для нахождения угла между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ используем формулу:

У нас $k_1 = \frac{1}{3}$ (для прямой AC) и $k_2 = -1$ (для прямой BD). Подставим значения:

Теперь находим угол $\theta$ с помощью арктангенса: