В треугольнике ABC AC=BC, AB=15, AH - высота, BH =3. Найдите cosBAC

Для того чтобы найти $\cos \angle BAC$ в треугольнике ABC, где $AC = BC$, $AB = 15$, $AH = 3$ — высота, необходимо воспользоваться некоторыми геометрическими свойствами и формулами.

1. Симметрия треугольника: Треугольник ABC — это равнобедренный треугольник, так как $AC = BC$. Это означает, что высота $AH$ является также медианой и биссектрисой, так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины, делит основание пополам и делит угол пополам.

2. Разбиение стороны AB: Высота $AH$ делит сторону $AB$ пополам, и, следовательно, $BH = \frac{AB}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$.

3. Используем теорему Пифагора: Теперь можно использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABH$. Известно, что $AB = 15$, а $BH = 7.5$ и $AH = 3$. Применяем теорему Пифагора:

   $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

   Подставим значения:

   $$15^2 = 3^2 + 7.5^2$$

   Проверим:

   $$225 = 9 + 56.25$$ $$225 = 225$$

   Теорема Пифагора выполняется, что подтверждает правильность данных.

4. Нахождение угла $\angle BAC$: Теперь мы можем найти угол $\angle BAC$ через тригонометрические функции. Так как $AH$ является высотой, то для угла $\angle BAC$ можно использовать косинус в прямоугольном треугольнике $ABH$. Косинус угла $\angle BAH$ будет равен отношению катета $BH$ к гипотенузе $AB$:

   $$\cos \angle BAH = \frac{BH}{AB} = \frac{7.5}{15} = 0.5$$

   Поскольку $AH$ является также биссектрисой угла $A$, то $\angle BAC = 2 \cdot \angle BAH$. Поэтому для $\cos \angle BAC$ применяем формулу для удвоенного угла:

   $$\cos(2 \cdot \theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$$

   Подставляем $\cos \theta = 0.5$:

   $$\cos(2 \cdot \theta) = 2 \cdot (0.5)^2 - 1 = 2 \cdot 0.25 - 1 = 0.5 - 1 = -0.5$$

5. Ответ: Таким образом, $\cos \angle BAC = -0.5$.