1. В трапеции АВСD
боковые стороны АВ и СD равны.

1) Постройте отрезок СА1,
на который отображается сторона АВ при параллельном переносе на вектор .

2) Найдите площадь
треугольника А1СD, если АD = 10 см, ВС = 4 см, АВ = 6 см.

2. Докажите, что правильный шестиугольник при повороте на 60° вокруг
своего центра отображается на себя

1. Вопрос с трапецией

У нас есть трапеция ABCD, в которой боковые стороны AB и CD равны. Нужно выполнить два задания:

1.1 Построение отрезка CA1

Для того чтобы построить отрезок CA1, на который отображается сторона AB при параллельном переносе на некоторый вектор, следуем такому алгоритму:

1. Выберите вектор переноса: Параллельный перенос — это операция, при которой каждый элемент геометрической фигуры сдвигается вдоль одного и того же направления на одну и ту же величину. Например, если вектор переноса — это вектор AD, то это значит, что все точки фигуры сдвигаются вдоль вектора, направленного от точки A к точке D.

2. Переносим точку A в точку A1: Отметим точку A1, которая получается сдвигом точки A на вектор переноса (например, на вектор AD).

3. Переносим точку B: Далее переносим точку B на тот же вектор AD. Получаем точку B1.

4. Проводим отрезок CA1: Теперь мы можем провести отрезок CA1, который и будет изображением стороны AB при данном параллельном переносе.

1.2 Площадь треугольника A1CD

Заданы следующие данные:

• AD = 10 см — длина основания трапеции.
• BC = 4 см — длина верхнего основания трапеции.
• AB = 6 см — длина боковой стороны.

Чтобы найти площадь треугольника A1CD, нужно:

1. Определить высоту трапеции (перпендикуляр от точки C к прямой AD). Это можно сделать с помощью формулы площади трапеции, где:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h$$

   Где S — площадь трапеции, AB и CD — основания трапеции, h — высота трапеции. Если мы знаем площадь трапеции, высоту можно найти.

2. Рассчитать площадь треугольника A1CD: Для нахождения площади треугольника A1CD можно воспользоваться формулой площади треугольника по координатам его вершин. Зная, что треугольник A1CD является прямоугольным (если вы правильно перенесли отрезок), можно использовать формулу:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту$$

   Основание треугольника — это отрезок CD, а высотой будет расстояние от точки A1 до прямой CD.

2. Доказательство для шестиугольника

Второе задание требует доказательства, что правильный шестиугольник при повороте на 60° вокруг своего центра отображается на себя.

Правильный шестиугольник имеет несколько важных свойств:

• Все его стороны равны.
• Все углы равны, и каждый угол равен 120°.
• Центр шестиугольника — это точка пересечения его диагоналей.

Поворот на 60° вокруг центра шестиугольника не меняет его вид по нескольким причинам:

1. Симметрия правильного шестиугольника: Он имеет 6 осей симметрии, которые проходят через его вершины и середины противоположных сторон. Поворот на 60° — это один из возможных углов симметрии.

2. Трансформация вершин: При повороте на 60° каждая вершина шестиугольника перемещается в положение другой вершины, и так как шестиугольник правильный, его форма сохраняется.

Таким образом, поворот на 60° вокруг центра шестиугольника приводит к тому, что все вершины оказываются на своих местах, и шестиугольник отображается на себя.

Это доказывает, что правильный шестиугольник является инвариантом при повороте на 60° относительно своего центра.