В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом ∠ С, где внешний угол при вершине А равен 120^0, АС+ AB = 18см. Найдите АС и АВ.

Для решения задачи будем использовать свойства прямоугольного треугольника и некоторых геометрических фактов.

Шаг 1: Известные данные

• Треугольник ABC прямоугольный, ∠C = 90°.

• Внешний угол при вершине A равен 120°. Этот угол состоит из угла ∠CAB (внутреннего угла треугольника) и угла 180° (внешний угол). То есть, угол ∠CAB можно вычислить как:

  $$\angle CAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ.$$

  Таким образом, угол ∠CAB = 60°.

• Сумма сторон AC и AB равна 18 см:

  $$AC + AB = 18 \, \text{см}.$$

Шаг 2: Применение тригонометрии

Так как угол ∠CAB = 60° и треугольник прямоугольный, то угол ∠ABC (второй угол треугольника) будет:

Мы можем выразить длины сторон через одну из них, используя тригонометрические соотношения для углов 30° и 60° в прямоугольном треугольнике.

1. Сторона AC (против угла 30°):

   $$AC = AB \cdot \tan(30^\circ).$$

   Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то:

   $$AC = AB \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

2. Сторона BC (против угла 60°):

   $$BC = AB \cdot \tan(60^\circ).$$

   Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, то:

   $$BC = AB \cdot \sqrt{3}.$$

Шаг 3: Использование условия AC + AB = 18 см

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим значение AC через AB в условие задачи:

Вынесем AB за скобки:

Приведем к общему знаменателю:

Умножим обе стороны на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от знаменателя:

Теперь выразим AB:

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3} - 1$ для удобства вычислений:

Так как $(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = 3 - 1 = 2$