Постройте график функции y=x^2-2. По графику определите а)Монотонность функции б) Минимальное (максимальное)значение функции

Для начала построим график функции $y = x^2 - 2$. Это парабола, так как функция является квадратичной (степень переменной $x$ равна 2).

Построение графика

1. Функция $y = x^2 - 2$:

   • Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент перед $x^2$ положительный.
   • Функция имеет вид $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = 0$, $c = -2$.
   • Вершина параболы находится на оси ординат, так как $b = 0$, следовательно, $x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a} = 0$.
   • Подставляем $x = 0$ в уравнение и находим значение функции в вершине: $y = 0^2 - 2 = -2$.

2. Координаты вершины параболы — это точка $(0, -2)$. Это и есть минимальная точка графика функции.

3. График:

   • Для построения графика достаточно взять несколько значений $x$ вокруг вершины и рассчитать значения $y$.
   • Например:
     • При $x = -2$: $y = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$
     • При $x = -1$: $y = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$
     • При $x = 1$: $y = 1^2 - 2 = -1$
     • При $x = 2$: $y = 2^2 - 2 = 2$
   • Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим параболу, открывающуюся вверх и имеющую вершину в точке $(0, -2)$.

Анализ функции

а) Монотонность функции

Монотонность определяет, на каких участках функция возрастает или убывает.

• Для функции $y = x^2 - 2$ можно видеть, что:
  • На интервале $x \in (-\infty, 0]$ функция убывает.
  • На интервале $x \in [0, +\infty)$ функция возрастает.

Таким образом, функция убывает на интервале $(-\infty, 0]$ и возрастает на интервале $[0, +\infty)$.

б) Минимальное (максимальное) значение функции

• Минимальное значение функции достигается в вершине параболы, в точке $(0, -2)$, и оно равно $y = -2$.
• Поскольку парабола направлена вверх, максимального значения функция не имеет, так как при $x \to +\infty$ или $x \to -\infty$ значение $y$ стремится к бесконечности.

Итоги

1. Монотонность: функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$.
2. Минимальное значение: $y = -2$ при $x = 0$.
3. Максимальное значение: отсутствует.