Сколько решений имеет система уравнений: x² + y² = 1 y = x

Система уравнений:

1. $x^2 + y^2 = 1$ (уравнение окружности с радиусом 1 и центром в начале координат)

2. $y = x$ (уравнение прямой, проходящей через начало координат и угол наклона 45 градусов)

Чтобы найти решения этой системы, подставим $y = x$ во второе уравнение (первое уравнение).

Получим: $x^2 + x^2 = 1$ или $2x^2 = 1$ откуда $x^2 = \frac{1}{2}$ $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Теперь подставим эти значения $x$ в уравнение $y = x$. Получаем два возможных значения для $y$, которые совпадают с $x$, то есть:

• когда $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$

• когда $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, то $y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Таким образом, система имеет два решения:

1. $\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$

2. $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$

Итак, система уравнений имеет два решения.