Решите задачу: сколько автомашин грузоподъёмностью 3 т и 5 т необходимо для перевозки 40 т груза. Можно использовать машины только одного вида, а можно и двух видов - 3 т и 5 т.

Ответьте на вопрос: сколько решений имеет задача?

Давайте внимательно разберем задачу.

Условия задачи

У нас есть груз в 40 тонн, который необходимо перевезти с помощью машин, грузоподъемность которых составляет либо 3 тонны, либо 5 тонн. Машины можно использовать как только одного вида, так и обоих видов.

Цель

Необходимо выяснить, сколько решений имеет эта задача. Под решением здесь понимается разное сочетание количества машин, которые позволяют перевезти 40 тонн груза.

Шаг 1: Рассмотрим варианты с использованием машин одного типа

1. Только 3-тонные машины: Если использовать только машины грузоподъемностью 3 тонны, то количество машин, $n$, должно удовлетворять следующему уравнению:

   $$3n = 40$$

   При делении 40 на 3 мы получаем нецелое число (13,333...). Это означает, что невозможно перевезти 40 тонн только с помощью 3-тонных машин, так как целое количество 3-тонных машин не обеспечит ровно 40 тонн.

2. Только 5-тонные машины: Если использовать только 5-тонные машины, то количество машин, $m$, должно удовлетворять уравнению:

   $$5m = 40$$

   При делении 40 на 5 мы получаем $m = 8$. Это целое число, и значит, что мы можем использовать 8 машин грузоподъемностью 5 тонн для перевозки 40 тонн. Таким образом, первый вариант решения — использовать только 5-тонные машины, и он возможен.

Шаг 2: Рассмотрим комбинированные варианты использования машин 3 и 5 тонн

Теперь посмотрим на комбинации, где используются машины обоих типов. Обозначим:

• $x$ — количество 3-тонных машин
• $y$ — количество 5-тонных машин

Тогда у нас получается уравнение:

где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа (так как нельзя использовать дробное количество машин).

Подбор значений $y$

Для решения уравнения методом подбора можно выразить $x$ через $y$:

Так как $x$ должно быть целым числом, $40 - 5y$ должно делиться на 3.

Рассмотрим возможные значения $y$:

1. Если $y = 0$:

   $$3x = 40 \Rightarrow x = 13.\overline{3}$$

   Это нецелое значение, значит, $y = 0$ не подходит.

2. Если $y = 1$:

   $$x = \frac{40 - 5 \cdot 1}{3} = \frac{35}{3} = 11.\overline{6}$$

   Нецелое значение, $y = 1$ также не подходит.

3. Если $y = 2$:

   $$x = \frac{40 - 5 \cdot 2}{3} = \frac{30}{3} = 10$$

   Здесь $x = 10$, что является целым числом. Это значит, что комбинация $x = 10$ и $y = 2$ подходит.

4. Если $y = 3$:

   $$x = \frac{40 - 5 \cdot 3}{3} = \frac{25}{3} = 8.\overline{3}$$

   Нецелое значение, значит, $y = 3$ не подходит.

5. Если $y = 4$:

   $$x = \frac{40 - 5 \cdot 4}{3} = \frac{20}{3} = 6.\overline{6}$$

   Нецелое значение, $y = 4$ не подходит.

6. Если $y = 5$:

   $$x = \frac{40 - 5 \cdot 5}{3} = \frac{15}{3} = 5$$

   Здесь $x = 5$, что является целым числом. Значит, комбинация $x = 5$ и $y = 5$ подходит.

7. Если $y = 6$:

   $$x = \frac{40 - 5 \cdot 6}{3} = \frac{10}{3} = 3.\overline{3}$$

   Нецелое значение, значит, $y = 6$ не подходит.

8. Если $y = 7$:

   $$x = \frac{40 - 5 \cdot 7}{3} = \frac{5}{3} = 1.\overline{6}$$

   Нецелое значение, значит, $y = 7$ не подходит.

9. Если $y = 8$:

   $$x = \frac{40 - 5 \cdot 8}{3} = 0$$

   Это также целое число. Значит, комбинация $x = 0$ и $y = 8$ подходит.

Итог: Количество решений

В итоге мы получили три возможных способа для перевозки груза в 40 тонн:

1. Использовать 8 машин грузоподъемностью 5 тонн.
2. Использовать 10 машин грузоподъемностью 3 тонны и 2 машины грузоподъемностью 5 тонн.
3. Использовать 5 машин грузоподъемностью 3 тонны и 5 машин грузоподъемностью 5 тонн.

Таким образом, задача имеет три решения.