(1/2)^x = x + 3. Решить уравнение.

Рассмотрим уравнение:

Наша цель — найти все значения $x$, при которых левая и правая части равны.

1. Анализ поведения функций

Разберёмся, как ведут себя обе части уравнения.

Левая часть: $\left(\frac{1}{2}\right)^x$
Это экспоненциальная функция, убывающая на всей числовой прямой:

• При $x = 0$: $\left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$

• При $x > 0$: значение стремится к 0

• При $x < 0$: значение стремится к бесконечности

Правая часть: $x + 3$
Это линейная функция, возрастающая, с углом наклона 1 и смещением на 3 вверх.

2. Графическое представление

Если представить обе функции на графике:

• $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ — убывающая кривая

• $y = x + 3$ — прямая линия

Точка пересечения графиков этих функций и будет решением уравнения.

3. Поиск решения методом подстановки

Пробуем подставить несколько значений вручную:

• $x = -2$:
  $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4,\quad x + 3 = -2 + 3 = 1 \quad \Rightarrow \text{не равно}$

• $x = -1$:
  $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2,\quad x + 3 = -1 + 3 = 2 \quad \Rightarrow \text{подходит!}$

• $x = 0$:
  $\left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1,\quad x + 3 = 3 \quad \Rightarrow \text{не равно}$

Мы нашли точное решение:

4. Проверка на другие решения

Поскольку левая часть — убывающая экспонента, а правая — возрастающая прямая, и они пересекаются только один раз, то других решений нет.

То есть функция $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - (x + 3)$ убывает в левой части и возрастает в правой, пересечение возможно только в одной точке.

✅ Ответ:

Хочешь, я покажу график этих функций для наглядности?