Как указать множество решений неравенства \(7x - x^2 < 0\)?

Чтобы указать множество решений неравенства $7x - x^2 < 0$, нужно выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Преобразуем неравенство

Изначально у нас есть неравенство:

Перепишем его в стандартной форме квадратного выражения:

Умножим обе части неравенства на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. При этом знак неравенства меняется на противоположный:

Шаг 2: Найдём нули квадратного выражения

Решим уравнение:

Вынесем $x$ за скобки:

Отсюда два корня:

Шаг 3: Построим числовую прямую и определим знаки

Разбиваем ось на три промежутка по найденным корням:

1. $x < 0$

2. $0 < x < 7$

3. $x > 7$

Проверим знак выражения $x(x - 7)$ на каждом промежутке:

• При $x < 0$: $x$ отрицательное, $x - 7$ отрицательное → произведение положительное

• При $0 < x < 7$: $x$ положительное, $x - 7$ отрицательное → произведение отрицательное

• При $x > 7$: оба множителя положительные → произведение положительное

Шаг 4: Учитываем знак неравенства

Нам нужно:

То есть те промежутки, где произведение положительное. Это:

Шаг 5: Ответ в виде множества

Возвращаемся к изначальному виду неравенства: $7x - x^2 < 0$. Мы выяснили, что неравенство выполняется при:

Записываем множество решений:

Итог:

Множество решений неравенства $7x - x^2 < 0$ — это интервал: