Решите уравнение |x+3| + |x-2| = 7

Решим уравнение $|x + 3| + |x - 2| = 7$.

Для начала, нужно помнить, что абсолютные значения разделяются на несколько случаев в зависимости от знаков выражений внутри. Нам нужно рассмотреть разные интервалы для $x$, поскольку абсолютное значение изменяет свой вид в зависимости от того, больше или меньше выражение нуля.

1. Когда $x \geq 2$:
   В этом случае оба выражения внутри абсолютных значений положительны, то есть $|x + 3| = x + 3$ и $|x - 2| = x - 2$. Подставляем их в уравнение:

   $$(x + 3) + (x - 2) = 7$$

   Упростим:

   $$2x + 1 = 7$$ $$2x = 6$$ $$x = 3$$

   Проверяем это решение: если $x = 3$, то $|x + 3| = |3 + 3| = 6$ и $|x - 2| = |3 - 2| = 1$, и действительно, $6 + 1 = 7$. Следовательно, $x = 3$ — решение.

2. Когда $-3 \leq x < 2$:
   В этом случае выражение $|x + 3| = x + 3$, так как $x + 3$ не отрицательно, а $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$, так как $x - 2$ отрицательно. Подставляем в уравнение:

   $$(x + 3) + (2 - x) = 7$$

   Упростим:

   $$3 + 2 = 7$$

   Это не верно, так как $5 \neq 7$. Следовательно, решений в этом интервале нет.

3. Когда $x < -3$:
   В этом случае оба выражения внутри абсолютных значений отрицательны, то есть $|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$ и $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$. Подставляем их в уравнение:

   $$(-x - 3) + (-x + 2) = 7$$

   Упростим:

   $$-2x - 1 = 7$$ $$-2x = 8$$ $$x = -4$$

   Проверяем это решение: если $x = -4$, то $|x + 3| = |-4 + 3| = 1$ и $|x - 2| = |-4 - 2| = 6$, и действительно, $1 + 6 = 7$. Следовательно, $x = -4$ — решение.

Таким образом, у уравнения есть два решения: $x = 3$ и $x = -4$.