Докажите формулу \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\), которую вывел Архимед для решения некоторых задач по геометрии и механике.

Для доказательства формулы суммы квадратов первых $n$ чисел, $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, можно воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базы индукции

Для начала проверим формулу для $n = 1$:

Согласно формуле:

Таким образом, для $n = 1$ формула верна.

Шаг 2: Формулировка индукционного предположения

Предположим, что формула верна для некоторого $n = k$, то есть:

Шаг 3: Доказательство для $n = k + 1$

Теперь нужно доказать, что формула также верна для $n = k + 1$, то есть:

Согласно нашему предположению, сумма квадратов до $k$ включительно равна:

Теперь прибавим $(k+1)^2$ к обеим частям:

Приведем правую часть к общему знаменателю:

Вынесем $(k+1)$ за скобки:

Теперь упростим выражение внутри скобок:

Таким образом, выражение для суммы квадратов до $k+1$ примет вид:

Преобразуем это выражение:

Что и требовалось доказать, так как правая часть выражения совпадает с формулой для суммы квадратов до $k+1$.

Шаг 4: Заключение

По принципу математической индукции, формула $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$