Алина и Маша хотели составить интересный вариант школьного тура олимпиады. Маша предложила несколько задач и отвергла каждую вторую задачу Алины (ровно половину). Алина тоже предложила несколько задач и не отвергла только каждую третью задачу Маши (ровно треть). В итоге получилось 10 задач, а изначально предложено было 27. На сколько задач больше предложила Маша по сравнению с Алиной?

Давайте разберем задачу подробно и по шагам.

Дано:

1. В итоге получилось 10 задач.
2. Изначально было предложено 27 задач.
3. Маша отвергла половину задач Алины.
4. Алина отвергла две трети задач Маши (оставила только треть).

Требуется:

Найти, на сколько задач больше предложила Маша, чем Алина.

Обозначения:

• Пусть $x$ — количество задач, предложенных Алинoй.
• Тогда $27 - x$ — количество задач, предложенных Машей.

Рассмотрим действия:

1. Маша отвергла половину задач Алины:

   • Из задач Алины $x$ осталась только половина: $\frac{x}{2}$.

2. Алина отвергла две трети задач Маши:

   • Из задач Маши $27 - x$ осталась только треть: $\frac{27 - x}{3}$.

3. В итоге получилось 10 задач:

   • Задачи, оставленные Машей $\frac{x}{2}$, плюс задачи, оставленные Алиной $\frac{27 - x}{3}$, составляют итоговые 10 задач: $$\frac{x}{2} + \frac{27 - x}{3} = 10.$$

Решим уравнение:

Приведем к общему знаменателю (общий знаменатель — 6):

Упростим:

Сложим числитель:

Умножим обе части на 6:

Вычтем 54:

Вывод:

• Алина предложила $x = 6$ задач.
• Маша предложила $27 - x = 27 - 6 = 21$ задач.

Разница:

Маша предложила на $21 - 6 = 15$ задач больше, чем Алина.

Ответ:

Маша предложила на 15 задач больше, чем Алина.