Решение уравнения √(x² + x + 4) = 4

Для решения уравнения $\sqrt{x^2 + x + 4} = 4$ начнем с того, что избавимся от квадратного корня. Для этого нужно возвести обе части уравнения в квадрат.

1. Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

   $$\left( \sqrt{x^2 + x + 4} \right)^2 = 4^2$$

   Это даст:

   $$x^2 + x + 4 = 16$$

2. Теперь нужно решить полученное уравнение:

   $$x^2 + x + 4 = 16$$

   Переносим все элементы на одну сторону, чтобы уравнение стало равным нулю:

   $$x^2 + x + 4 - 16 = 0$$ $$x^2 + x - 12 = 0$$

3. Решаем квадратное уравнение $x^2 + x - 12 = 0$ с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит так:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   Для нашего уравнения $a = 1$, $b = 1$, $c = -12$, подставляем эти значения в формулу:

   $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

4. Находим корни уравнения по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}$$

5. Находим два возможных значения для $x$:

   $$x = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

   и

   $$x = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

6. Чтобы проверить, не появились ли extraneous (ложные) решения, подставим найденные значения $x$ в исходное уравнение $\sqrt{x^2 + x + 4} = 4$.

   • Для $x = 3$:

     $$\sqrt{3^2 + 3 + 4} = \sqrt{9 + 3 + 4} = \sqrt{16} = 4$$

     Это верно.

   • Для $x = -4$:

     $$\sqrt{(-4)^2 + (-4) + 4} = \sqrt{16 - 4 + 4} = \sqrt{16} = 4$$

     Это тоже верно.

Итак, оба значения $x = 3$ и $x = -4$ являются решениями данного уравнения.