Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции y=(x+16)e^{x-16}

Для того чтобы найти точку минимума функции $y = (x + 16)e^{x - 16}$, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем производную функции $y$, чтобы понять, где она принимает значения 0, так как эти точки могут быть точками минимума или максимума.

   Функция $y$ состоит из произведения двух выражений: $(x + 16)$ и $e^{x - 16}$. Мы применим правило дифференцирования произведения:

   $$y' = \frac{d}{dx}\left[(x + 16)e^{x - 16}\right] = (x + 16)' e^{x - 16} + (x + 16) (e^{x - 16})'$$

   Где:

   $$(x + 16)' = 1$$

   и

   $$(e^{x - 16})' = e^{x - 16}$$

   Подставляем все в формулу:

   $$y' = e^{x - 16} + (x + 16)e^{x - 16}$$

   Можно вынести $e^{x - 16}$ за скобки:

   $$y' = e^{x - 16} \left( 1 + (x + 16) \right)$$

   Упростим выражение в скобках:

   $$y' = e^{x - 16} (x + 17)$$

2. Найдем критические точки, приравняв производную $y'$ к нулю:

   $$e^{x - 16} (x + 17) = 0$$

   Поскольку $e^{x - 16} \neq 0$ для всех значений $x$, уравнение можно упростить до:

   $$x + 17 = 0$$

   Следовательно, $x = -17$.

3. Проверим, является ли эта точка минимумом. Для этого можно исследовать вторую производную функции $y$. Вторая производная будет следующей:

   $$y'' = \frac{d}{dx} \left( e^{x - 16} (x + 17) \right)$$

   Применим правило дифференцирования произведения:

   $$y'' = \frac{d}{dx}\left[e^{x - 16}\right] (x + 17) + e^{x - 16} \frac{d}{dx}(x + 17)$$

   Здесь:

   $$\frac{d}{dx} e^{x - 16} = e^{x - 16}$$

   и

   $$\frac{d}{dx} (x + 17) = 1$$

   Таким образом:

   $$y'' = e^{x - 16} (x + 17) + e^{x - 16}$$

   Можно вынести $e^{x - 16}$ за скобки:

   $$y'' = e^{x - 16} \left( (x + 17) + 1 \right) = e^{x - 16} (x + 18)$$

4. Подставим точку $x = -17$ в $y''$, чтобы проверить ее тип:

   $$y''(-17) = e^{-17 - 16} (-17 + 18) = e^{-33} \times 1$$

   Поскольку $e^{-33}$ — это положительное число, вторая производная в точке $x = -17$ положительна. Это означает, что точка $x = -17$ является точкой минимума.

Итак, точка минимума функции $y$