В тра­пе­ции ABCD известно, что AD = 7, BC = 3, а её пло­щадь равна 85. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Давайте разберёмся с решением задачи шаг за шагом.

1. Известные данные:

   • $AD = 7$ и $BC = 3$ — это длины оснований трапеции $ABCD$.
   • Площадь трапеции $ABCD$ равна 85.

2. Формула площади трапеции: Площадь трапеции $S$ можно найти по формуле:

   $$S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$$

   где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — высота.

3. Найдём высоту $h$ трапеции $ABCD$: Подставим значения оснований и площади в формулу:

   $$85 = \frac{(7 + 3) \cdot h}{2}$$

   Упростим выражение:

   $$85 = \frac{10 \cdot h}{2}$$ $$85 = 5 \cdot h$$

   Разделим обе стороны на 5:

   $$h = 17$$

   Теперь мы знаем, что высота трапеции $ABCD$ равна 17.

4. Найдём среднюю линию $MN$ трапеции $ABCD$: Средняя линия $MN$ трапеции равна полусумме оснований:

   $$MN = \frac{AD + BC}{2}$$

   Подставим значения $AD = 7$ и $BC = 3$:

   $$MN = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

5. Найдём площадь трапеции $BCNM$: Трапеция $BCNM$ имеет основания $BC$ и $MN$, а высота этой трапеции равна половине высоты исходной трапеции $ABCD$, так как $MN$ — средняя линия. Следовательно, высота $BCNM$ будет:

   $$h_{BCNM} = \frac{h}{2} = \frac{17}{2} = 8.5$$

6. Вычислим площадь трапеции $BCNM$: Подставим в формулу площади трапеции:

   $$S_{BCNM} = \frac{(BC + MN) \cdot h_{BCNM}}{2}$$

   Подставим значения:

   $$S_{BCNM} = \frac{(3 + 5) \cdot 8.5}{2}$$ $$S_{BCNM} = \frac{8 \cdot 8.5}{2}$$ $$S_{BCNM} = \frac{68}{2} = 34$$

Таким образом, площадь трапеции $BCNM$ равна $34$.