Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=x^3+3x^2-4 на отрезке [− 4; 1].​

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^3 + 3x^2 - 4$ на отрезке $[-4; 1]$, необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1. Найдем производную функции

Чтобы найти экстремумы функции на отрезке, сначала вычислим её производную и найдем критические точки внутри отрезка.

Функция:

Её производная:

Шаг 2. Найдём критические точки

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

Решим это уравнение:

1. Вынесем общий множитель $3x$: $$3x(x + 2) = 0$$
2. Приравняем каждый множитель к нулю:
   • $3x = 0 \Rightarrow x = 0$
   • $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Таким образом, критические точки функции на отрезке $[-4; 1]$ — это $x = 0$ и $x = -2$.

Шаг 3. Проверим значения функции в критических точках и на границах отрезка

Теперь подставим значения $x = -4$, $x = 1$, а также критические точки $x = 0$ и $x = -2$ в исходную функцию, чтобы найти значение функции в этих точках:

1. Для $x = -4$:

   $$y(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 4 = -64 + 48 - 4 = -20$$

2. Для $x = 1$:

   $$y(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$$

3. Для $x = 0$:

   $$y(0) = (0)^3 + 3(0)^2 - 4 = -4$$

4. Для $x = -2$:

   $$y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$$

Шаг 4. Определим наибольшее и наименьшее значения

Теперь у нас есть значения функции в точках:

• $y(-4) = -20$
• $y(1) = 0$
• $y(0) = -4$
• $y(-2) = 0$

Наибольшее значение на отрезке $[-4; 1]$ равно $0$, достигается в точках $x = 1$ и $x = -2$.

Наименьшее значение на отрезке $[-4; 1]$ равно $-20$, достигается в точке $x = -4$.

Ответ

• Наименьшее значение функции на отрезке $[-4; 1]$ равно $-20$ в точке $x = -4$.
• Наибольшее значение функции на отрезке $[-4; 1]$ равно $0$ в точках $x = 1$ и $x = -2$.