Аэростат объемом 500 м³ наполнен гелием под давлением 10⁵ Па. В результате солнечного нагрева температура газа в аэростате поднялась от 10 °С до 25 °С. Насколько увеличилась внутренняя энергия газа?

Для решения задачи нужно использовать формулу, которая связывает изменение внутренней энергии газа с изменением температуры. Внутренняя энергия идеального газа $U$ пропорциональна температуре и объему, и для одноатомного газа можно выразить её как:

где:

• $\Delta U$ — изменение внутренней энергии,

• $n$ — количество вещества (в молях),

• $R$ — универсальная газовая постоянная ($R = 8.314$ Дж/моль·К),

• $\Delta T$ — изменение температуры.

Чтобы найти изменение внутренней энергии, нужно сначала найти количество вещества $n$. Используем уравнение состояния идеального газа:

где:

• $p$ — давление,

• $V$ — объем,

• $T$ — температура в Кельвинах.

Из этого уравнения выражаем $n$:

Подставим известные данные:

• Давление $p = 10^5$ Па,

• Объем $V = 500$ м³,

• Температура $T_1 = 10^\circ C = 283.15$ К (начальная),

• $R = 8.314$ Дж/моль·К.

Тогда:

Теперь можно найти изменение внутренней энергии. Изменение температуры $\Delta T = 25^\circ C - 10^\circ C = 15^\circ C = 15 \, \text{К}$.

Подставляем все значения в формулу для изменения внутренней энергии:

Таким образом, внутренняя энергия газа увеличилась примерно на 5315,3 Дж.