Заряженные металлические шарики одинакового радиуса притягива-
ются, сталкиваются и разлетаются. В результате произведение абсолютных
величин зарядов шариков уменьшается в n = 8 раз. Найдите отношение
начальных зарядов шариков.
Абсолютная величина - число по модулю.

Задачу можно решить с помощью закона сохранения заряда и закона сохранения электрического потенциала. Рассмотрим шарики, которые имеют заряды $q_1$ и $q_2$. Согласно условию, они притягиваются, сталкиваются и разлетаются, при этом произведение абсолютных значений их зарядов уменьшается в 8 раз.

1. Закон сохранения заряда: при столкновении шариков их общий заряд должен сохраняться. Это означает, что сумма зарядов шариков до и после столкновения одинакова:

   $$q_1 + q_2 = q'_1 + q'_2$$

   где $q'_1$ и $q'_2$ — заряды шариков после столкновения.

2. Условие на уменьшение произведения зарядов: по условию задачи, произведение абсолютных значений зарядов после столкновения уменьшилось в 8 раз. Это можно записать как:

   $$|q'_1| \cdot |q'_2| = \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{8}$$

3. Распределение заряда после столкновения: при столкновении заряженных проводящих тел заряды распределяются пропорционально их емкостям (в случае одинаковых шариков — поровну). Следовательно, после столкновения заряды будут равны:

   $$q'_1 = q'_2 = \frac{q_1 + q_2}{2}$$

   Таким образом, произведение зарядов после столкновения:

   $$q'_1 \cdot q'_2 = \left(\frac{q_1 + q_2}{2}\right)^2$$

4. Сравнение начальных и конечных произведений зарядов: теперь можно подставить это выражение в условие задачи о том, что произведение зарядов уменьшилось в 8 раз:

   $$\left(\frac{q_1 + q_2}{2}\right)^2 = \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{8}$$

5. Решение уравнения: раскроем квадрат и упростим выражение:

   $$\frac{(q_1 + q_2)^2}{4} = \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{8}$$

   Умножим обе части на 8:

   $$2(q_1 + q_2)^2 = |q_1| \cdot |q_2|$$

   Для удобства рассмотрим случай, когда заряды имеют одинаковые знаки (то есть $q_1$ и $q_2$ не просто модули, а сами заряды):

   $$2(q_1 + q_2)^2 = q_1 \cdot q_2$$

   Решим это уравнение относительно соотношения $\frac{q_1}{q_2}$. Предположим, что $x = \frac{q_1}{q_2}$, тогда $q_1 = x q_2$. Подставим это в уравнение:

   $$2(x q_2 + q_2)^2 = x q_2^2$$ $$2(x + 1)^2 = x$$

   Решим это квадратное уравнение:

   $$2(x^2 + 2x + 1) = x$$